DERET
A. Barisan
Barisan bilangan-bilangan adalah himpunan bilangan-bilangan dengan tingkat pengaturan tertentu dan dibentuk menurut sebuah aturan tertentu. Bilangan-bilangan dari barisan disebut suku.
B. Deret Hitung
Deret hitung adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya setelah suku pertama diperoleh dengan menambahkan bilangan sebelumnya dengan sebuah bilangan konstan yang disebut beda.
Contoh : 3, 7, 11, 15, …
Contoh di atas merupakan sebuah deret hitung sebab tiap-tiap sukunya diperoleh dengan menambah 4 terhadap bilangan sebelumnya. Dalam deret hitung 50, 45, 40, … beda = 45 - 50 = -5
Rumus deret hitung
1. Suku ke n atau suku terakhir :
2. Jumlah n suku pertama :
Bukti :
atau
……….Persamaan 1
Persamaan ini dapat pula ditulis sebagai berikut:
……….Persamaan 2
Dengan menjumlahkan persamaan 1 dan persamaan 2 akan kita dapatkan:
n suku
Oleh karena , maka Sn dapat juga dinyatakan sebagai berikut.
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah
atau
Dengan Sn = jummlah n suku
n = banyaknya suku
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
Contoh:
Diketahui sebuah deret hitung 3, 7, 11, … dengan a = 3, b = 7 – 3 = 4,
Jumlah 6 suku pertama adalah:
C. Deret Geometri
Deret geometri adalah barisan bilangan-bilangan yang setiap bilangannya diperoleh dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan konstanta yang disebut rasio.
Contoh:
a. 5, 10, 20, 40, …
Contoh di atas merupakan deret geometri yang setipa bilangannya diperoleh dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan 2.
b. 9, -3, 1,
Rasionya adalah
Rumus untuk deret geometri
1. Suku ke-n atau suku terakhir
2. Jumlah n suku pertama
Bukti :
atau
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan persamaan 2 berikut
Sekarang kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1.
Dengan Sn = jummlah n suku
n = banyaknya suku
a = suku pertama
r = rasio
Un = suku ke-n
Contoh:
Diketahui sebuah deret geometri 5, 10, 20, …a = 5, r = 2, .
Jumlah tujuh suku pertama = = 635
D. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan banyaknya suku tak berhingga dengan .
Rumus untuk jumlah suku deret geometri tak hingga adalah
dengan
Karena maka -1 < r < 1 sehingga diperoleh rn menuju 0
Akibatnya
Contoh:
Diketahui deret geometri tak hingga dengan a = 1, r = .
Jumlah banyak suku sampai tak hingga adalah
E. Deret Harmonis
Deret harmonis adalah barisan-bilangan- bilangan yang kebalikannya membentuk sebuah deret hitung.
Contoh:
adalah sebuah deret harmonis sebab adalah sebuah deret hitung.
F. Rata-rata
Suku-suku antara dua suku yang diberikan disebut rata-rata antara dua suku tersebut.
Dalam deret geometri 2,-4, 8, -16, … dua rata-rata geometri antara 2 dan -16 adalah -4 dan 8.
Dalam deret harmonis rata-rata antara dan adalah
Latihan
A. Deret Hitung
1. Carilah suku ke 40 dan jumlah 40 suku pertama dari deret hitung 10, 8, 6, …
2. Hitung jumlah 100 bilangan bulat positif pertama yang habis dibagi 7
3. Sebuah deret hitung mempunyai suku pertama 4 dan suku terakhir 34. Apabila jumlah suku-sukunya 247 carilah banyaknya suku dan bedanya!
4. Carilah tiga bilangan dalam deret hitung sedemikian rupa sehingga jumlah suku pertama dan ketiga adalah 12 dan hasil kali suku pertama dan kedua adalah 24!
5. Carilah tiga bilangan dalam deret hitung yang jumlahnya 48 dan jumlah kuadratnya 800!
6. Tiga bilangan membentuk perbandingan 2:5:7. Apabila 7 dikurangkan dari bilangan kedua maka bilangannya membentuk sebuah deret hitung. Tentukan ketiga bilangan semula!
7. Sebuah tempat meluncur dengan tanjakan yang rata dibangun di atas permukaan yang rata dan mempunyai 10 tiang penyanggah yang jaraknya sama satu dengan lainnya. Tinggi penyanggah yang tertinggi adalah kaki dan terpendek 2 kaki. Tentukan tinggi setiap penyanggah yang diperlukan!
8. Tentukan rata-rata hitung antara dan !
9. Sisipkan 4 rata-rata hitung antara 9 dan 24!
B. Deret Geometri
1. Carilah suku ke 8 dan jumlah 8 suku pertama dari deret 4, 8, 16, …
Suku kedua dari sebuah deret geomatri adalah 3 dan suku kelimanya adalah , carilah suku ke delapan!
2. Carilah tiga bilangan yang dapat membentuk deret geometri dengan jumlah 26 dan perkaliannyaadalah 216!
3. Dua suku pertama dari deret geometri adalah dan . Tunjukkan bahwa jumlah n suku dari deret ini diberikan dengan rumus
4. Carilah jumlah n suku pertama dari deret geometri
5. Sisipkan dua rata-rata geometri antara 3 dan 192!
6. Rata-rata geometri dari dua bilangan adalah 8. Apabila salah satu bilangannya adalah 6 carilah bilangan lainnnya!
C. Deret Geometri Tak Hingga
1. Carilah jumlah deret geometri tak hingga berikut!
2. Nyatakan setiap decimal berikut sebagai sebuah pecahan!
a. 0,444…
b. 0,4272727…
3. Jumlah dua suku pertama dari deret geometri menurun adalah dan jumlah sampai tak hingga adalah . Tulis tiga suku pertama dari deret geometri tersebut!
D. Deret Harmonis
1. Hitunglah suku ke 15 dari deret harmonis
2. Tentukan rata-rata harmonis antara dan !
3. Sisipkan empat rata-rata harmonis antara dan !
4. Sisipkan empat rata-rata harmonis antara dan !
Barisan bilangan-bilangan adalah himpunan bilangan-bilangan dengan tingkat pengaturan tertentu dan dibentuk menurut sebuah aturan tertentu. Bilangan-bilangan dari barisan disebut suku.
B. Deret Hitung
Deret hitung adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya setelah suku pertama diperoleh dengan menambahkan bilangan sebelumnya dengan sebuah bilangan konstan yang disebut beda.
Contoh : 3, 7, 11, 15, …
Contoh di atas merupakan sebuah deret hitung sebab tiap-tiap sukunya diperoleh dengan menambah 4 terhadap bilangan sebelumnya. Dalam deret hitung 50, 45, 40, … beda = 45 - 50 = -5
Rumus deret hitung
1. Suku ke n atau suku terakhir :
2. Jumlah n suku pertama :
Bukti :
atau
……….Persamaan 1
Persamaan ini dapat pula ditulis sebagai berikut:
……….Persamaan 2
Dengan menjumlahkan persamaan 1 dan persamaan 2 akan kita dapatkan:
n suku
Oleh karena , maka Sn dapat juga dinyatakan sebagai berikut.
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah
atau
Dengan Sn = jummlah n suku
n = banyaknya suku
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
Contoh:
Diketahui sebuah deret hitung 3, 7, 11, … dengan a = 3, b = 7 – 3 = 4,
Jumlah 6 suku pertama adalah:
C. Deret Geometri
Deret geometri adalah barisan bilangan-bilangan yang setiap bilangannya diperoleh dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan konstanta yang disebut rasio.
Contoh:
a. 5, 10, 20, 40, …
Contoh di atas merupakan deret geometri yang setipa bilangannya diperoleh dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan 2.
b. 9, -3, 1,
Rasionya adalah
Rumus untuk deret geometri
1. Suku ke-n atau suku terakhir
2. Jumlah n suku pertama
Bukti :
atau
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan persamaan 2 berikut
Sekarang kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1.
Dengan Sn = jummlah n suku
n = banyaknya suku
a = suku pertama
r = rasio
Un = suku ke-n
Contoh:
Diketahui sebuah deret geometri 5, 10, 20, …a = 5, r = 2, .
Jumlah tujuh suku pertama = = 635
D. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan banyaknya suku tak berhingga dengan .
Rumus untuk jumlah suku deret geometri tak hingga adalah
dengan
Karena maka -1 < r < 1 sehingga diperoleh rn menuju 0
Akibatnya
Contoh:
Diketahui deret geometri tak hingga dengan a = 1, r = .
Jumlah banyak suku sampai tak hingga adalah
E. Deret Harmonis
Deret harmonis adalah barisan-bilangan- bilangan yang kebalikannya membentuk sebuah deret hitung.
Contoh:
adalah sebuah deret harmonis sebab adalah sebuah deret hitung.
F. Rata-rata
Suku-suku antara dua suku yang diberikan disebut rata-rata antara dua suku tersebut.
Dalam deret geometri 2,-4, 8, -16, … dua rata-rata geometri antara 2 dan -16 adalah -4 dan 8.
Dalam deret harmonis rata-rata antara dan adalah
Latihan
A. Deret Hitung
1. Carilah suku ke 40 dan jumlah 40 suku pertama dari deret hitung 10, 8, 6, …
2. Hitung jumlah 100 bilangan bulat positif pertama yang habis dibagi 7
3. Sebuah deret hitung mempunyai suku pertama 4 dan suku terakhir 34. Apabila jumlah suku-sukunya 247 carilah banyaknya suku dan bedanya!
4. Carilah tiga bilangan dalam deret hitung sedemikian rupa sehingga jumlah suku pertama dan ketiga adalah 12 dan hasil kali suku pertama dan kedua adalah 24!
5. Carilah tiga bilangan dalam deret hitung yang jumlahnya 48 dan jumlah kuadratnya 800!
6. Tiga bilangan membentuk perbandingan 2:5:7. Apabila 7 dikurangkan dari bilangan kedua maka bilangannya membentuk sebuah deret hitung. Tentukan ketiga bilangan semula!
7. Sebuah tempat meluncur dengan tanjakan yang rata dibangun di atas permukaan yang rata dan mempunyai 10 tiang penyanggah yang jaraknya sama satu dengan lainnya. Tinggi penyanggah yang tertinggi adalah kaki dan terpendek 2 kaki. Tentukan tinggi setiap penyanggah yang diperlukan!
8. Tentukan rata-rata hitung antara dan !
9. Sisipkan 4 rata-rata hitung antara 9 dan 24!
B. Deret Geometri
1. Carilah suku ke 8 dan jumlah 8 suku pertama dari deret 4, 8, 16, …
Suku kedua dari sebuah deret geomatri adalah 3 dan suku kelimanya adalah , carilah suku ke delapan!
2. Carilah tiga bilangan yang dapat membentuk deret geometri dengan jumlah 26 dan perkaliannyaadalah 216!
3. Dua suku pertama dari deret geometri adalah dan . Tunjukkan bahwa jumlah n suku dari deret ini diberikan dengan rumus
4. Carilah jumlah n suku pertama dari deret geometri
5. Sisipkan dua rata-rata geometri antara 3 dan 192!
6. Rata-rata geometri dari dua bilangan adalah 8. Apabila salah satu bilangannya adalah 6 carilah bilangan lainnnya!
C. Deret Geometri Tak Hingga
1. Carilah jumlah deret geometri tak hingga berikut!
2. Nyatakan setiap decimal berikut sebagai sebuah pecahan!
a. 0,444…
b. 0,4272727…
3. Jumlah dua suku pertama dari deret geometri menurun adalah dan jumlah sampai tak hingga adalah . Tulis tiga suku pertama dari deret geometri tersebut!
D. Deret Harmonis
1. Hitunglah suku ke 15 dari deret harmonis
2. Tentukan rata-rata harmonis antara dan !
3. Sisipkan empat rata-rata harmonis antara dan !
4. Sisipkan empat rata-rata harmonis antara dan !
Tidak ada komentar:
Posting Komentar